关于状压DP枚举子集的方法与理解

我们现在要枚举状压集合 $S$ 的子集，代码实现：

for (int S1=S;S1!=0;S1=(S1-1)&S) {
  S2=S^S1;
}

其中 $S_1$ 就是我们枚举得到的子集，$S_2$ 是当前子集 $S_1$ 在 $S$ 内的补集，即 $S_1 \bigoplus S_2 = S$

$${\because S_2 = S \bigoplus S_1}$$

$${\therefore S_2 \bigoplus S_1 = S \bigoplus S_1 \bigoplus S_1}$$

$${\therefore S_2 \bigoplus S_1 = S \bigoplus (S_1 \bigoplus S_1)}$$

$${\therefore S_2 \bigoplus S_1 = S \bigoplus 0}$$

$${\therefore S_2 \bigoplus S_1 = S}$$

赘述如下

现在来讲一讲为什么是这样的一个枚举方法，先让我们来举一个例子来模拟一下。

假设我们当前要枚举的是 $(10110)_2$ 的子集（子集仍然用 $S_1$ 表示）：

$S_1 = (10110)_2 \Rightarrow (10100)_2 \Rightarrow (10010)_2 \Rightarrow (10000)_2 \Rightarrow (110)_2 \Rightarrow (100)_2 \Rightarrow (10)_2$

根据例子，我们发现按照上面代码得到的结果是正确的，并且是把子集按照从大到小的顺序枚举出来的。那么接下来我们来谈谈这样枚举的正确性。

首先，一个集合它自己本身也是自己的一个集合，所以我们从这个集合本身开始枚举。

既然是枚举，那我们就先考虑把当前枚举得到的子集先 $-1$（即 $S_1 - 1$），但是这样做不能保证 $-1$ 后得到的状态是原状态的子集，但是我们注意到：根据 与运算& 的性质，我们不难发现如果两个数 a, b，a < b，我们对这两个数进行&运算，最后的结果一定是b的子集，因为我们 与运算& 得到的结果，其二进制中所有1出现的位置在b的二进制对应位置也是1。

现在已经说明了这样做确实得到了原集合的一个子集 $S_1$，但是还没有说明我们通过上述方式枚举，可以枚举完原集合 $S$ 的所有子集。

其实枚举子集就相当于在原集合的二进制状态下把一些1换为0，而我们每次 $-1$ 然后进行与运算其实就是在把当前子集 $S_1$ 的最右边的1的右边全部变为1，自己变为0，然后和集合 $S$ 进行与运算把新增的1中不该出现的抹去，最后只剩下了原集合中存在的1了。

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